احتمالات در آمار بیانگر امکان نتیجه هر رویداد تصادفی است. به زبان ساده‌تر این است که چقدر احتمال دارد رویدادی اتفاقی بیفتد. هر زمان که در مورد نتیجه یک پیشامد مطمئن نیستیم، می‌توانیم در مورد پیامدهای خاص و اینکه احتمال آنها چقدر است صحبت کنیم. به عنوان مثال زمانی که یک سکه را به هوا پرتاب می‌کنیم احتمال رو آمدن آن چقدر است؟ پاسخ به این سوال براساس تعداد نتایج ممکن است. در اینجا دو نتیجه‌ی احتمالی یعنی پشت و رو وجود دارد. بنابریان احتمال رو آمادن ½ است. پس احتمال در آمار و ریاضی اندازه گیری شانس وقوع یک رویداد است و قطعیت رویداد را می‌سنجد. فرمول کلی آن به این صورت است.
P(E) = n(E)/n(S) P(E) = تعداد پیامدهای مطلوب/تعداد کل نتایج n(E) = تعداد رویداد مطلوب برای رویداد E n(S) = تعداد کل نتایج در این مبحث قرار است موارد زیر را بررسی کنیم:
زمانی که با هر نوع سوال احتمالی سروکار داریم، مجموعه‌ای از تمام نتایج ممکن را فضای نمونه ای می‌گویند. به عنوان مثال یک آزمایش تصادفی همانند چرخاندن تاس را در نظر بگیرید. آزمایش تصادفی، آزمایشی است که شما نمی‌توانید از نتیجه آن کاملا مطمئن باشید. نتایج احتمالی برای این مثال 1, 2, 3, 4, 5 ,6 هستند. پس فضای نمونه ای آن شامل این اعداد است. فضای نمونه می‌تواند گسسته یا پیوسته باشد. گسسته مانند مجموعه‌های متناهی از پرتاب سکه، تاس و موارد مشابه. پیوسته، مجموعه‌ی نامتناهی از اعداد حقیقی است هنگامی که دو زیرمجموعه از یک مجموعه هیچ عضو مشترکی نداشته باشند به آنها مجموعه ناسازگار گفته می‌شود. از آنجایی که هر زیرمجموعه یک فضای نمونه ای برای یک پیشامد است، پس می‌توان از طریق شمارش تعداد اعضای متناظر در هر پیشامد خاص و تقسیم آن بر تعداد کل فضاهای نمونه‌ای احتمال وقوع آن پیشامد را تعیین کرد. به عبارتی احتمال وقوع یک پیشامد، نسبت دفعاتی است که انتظار می‌رود پیشامد رخ بدهد وقتی که آزمایش تحت شرایط یکسان تکرار شود. پیشامدهایی که نمی‌توانند همزمان به وقوع بپیوندند، ناسازگار هستند. به عنوان مثال دو پیشامد A و B اگر هیچ برآمد مشترکی نداشته باشند، پیشامدهای جدا یا ناسازگار هستند. پیشامدهای ناسازگار همزمان رخ نمی‌دهند، یعنی در هر آزمایش احتمالی، فقط یکی از آنها ممکن است اتفاق بیافتد. قانون جمع برای احتمالات دو فرمول را توصیف می‌کند. یکی برای احتمال وقوع هر یک از دو رویداد سازگار و دیگری برای احتمال وقوع دو رویدار ناسازگار. فرمول اول فقط مجموعه احتمالات دو رویداد است. فرمول دوم مجموع احتمالات دو رویداد منهای احتمال وقوع هر دو است. از نظر ریاضی، احتمال دو رویداد سازگار منحصر به فرد را با موارد زیر نشان می‌دهند: P(Y or Z)=P(Y)+P(Z) از نظر ریاضی، احتمال دو رویداد غیر سازگار با یکدیگر به شکل زیر نمایش داده می‌شود.: P(Y or Z)=P(Y)+P(Z)−P(Y and Z) زمانی دو پیشامد را متمم می‌گوییم که در یک آزمایش فقط یکی از آنها روی دهد. یعنی وقوع A1 با عدم وقوع A2 و وقوع A2 با عدم وقوع A1 همراه باشد. متمم پبشامد A مجموعه‌ی تمامی پیشامدهایی است که در A نیستند. برای نشان دادن متمم A از AC استفاده می‌شود.وقتی A رخ نمی‌دهد در واقع AC رخ می‌دهد. این قانون راهی برای یافتن احتمال وقوع دو رویداد در یک زمان است. دو فرمول برای قانون ضرب احتمال ها وجود دارد. فرمول عمومی: P(A ∩ B) = P(A) P(B|A) فرمول ویژه: P(A and B) = P(A) * P(B). P(B|A) P(B|A) به معنای “احتمال وقوع A با توجه به اینکه B رخ داده است” می‌باشد. قانون دوم زمانی معتبر است که دو رویداد مستقل هستند. به عبارت دیگر زمانی کار می‌کند که یک یک رویداد، احتمال وقوع رویداد دیگر را تغییر ندهد. احتمال شرطی احتمال وقوع یک رویداد است با توجه به اینکه رویداد دیگری قبلاً رخ داده است. یکی از مفاهیم اصلی و اساسی در نظریه احتمالات است. توجه داشته باشید احتمال شرطی بیانگر این که همیشه یک رابطه علّی بین دو رویداد وجود دارد و یا هر دو رویداد به طور همزمان رخ می‌دهند، نمی‌باشد. مفهوم احتمال شرطی در درجه اول با قضیه بیز مرتبط است که یکی از تاثیرگذارترین نظریه ها در آمار است. فرمول احتمال شرطی: P(B|A) = P(A and B) / P(A) یا P(B|A) = P(A∩B) / P(A) P(A|B) : (احتمال شرطی) احتمال وقوع رویداد A با توجه به اینکه رویداد B قبلاً رخ داده است P (A ∩ B) – احتمال مشترک رویدادهای A و B. احتمال وقوع هر دو رویداد A و B P(B) – احتمال رویداد B در آمار و تئوری احتمال، رویدادهای مستقل دو رویدادی هستند که وقوع یک رویداد تأثیری بر وقوع رویداد یا رویدادهای دیگر ندارد. ساده ترین مثال از این گونه اتفاقات پرتاب دو سکه است. نتیجه پرتاب سکه اول نمیتواند بر نتیجه پرتاب سکه دوم تأثیر بگذارد. این پیشامدها را نباید با پبشامدهای سازگار و ناسازگار اشتباه گرفت. مفهمو رویداد مستقل صرفا به تاثیر وقوع یک رویداد بر رویداد دیگر مربوط می‌شود. پیشامد A نسبت به پیشامد B مستقل است اگر P(A | B) = P(A) باشد و B رخ دهد. قانون بیز یکی از تئوری‌های آمار و احتمالات است. به تعیین احتمال وقوع یک رویداد براساس رویدادهایی که قبلا رخ داده است کمک می‌کند. به زبان ساده‌تر احتمال شرطی رویداد را با توجه به این که رویداد b قبلا رخ داده است را تعیین می‌کند. بیشتر بخوانید: توضیح قانون بیز به ساده ترین زبان قانون بیز احتمال را براساس فرضیه محاسبه می‌کند. این تئوری می‌گوید: P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B) A و B : رویدادها P(A|B) = احتمال B داده شده درست است P(A) احتمال وقوع رویداد A است. P(B) احتمال وقوع رویداد B است. P(A|B) احتمال شرطی وقوع رویداد A با توجه به اینکه B اتفاق افتاده است. P(B|A) احتمال مشروط رخداد B است با توجه به اینکه A اتفاق افتاده است
فضای نمونه ای پیشامدها در احتمالات
مجموعه ناسازگار
احتمال هم شانس
پیشامدهای ناسازگار
قانون جمع احتمال ها
پیشامدهای متمم
قانون ضرب احتمال ها
احتمال شرطی
پیشامدهای مستقل
قانون بیز
