توزیع دو جمله ای با مثال

توزیع دو جمله ای، در مورد توزیع یک پیشامد رایج است که احتمال وجود داشتن یکی از دو نتیجه را تحت تعداد معینی از پارامترها تعیین می‌کند. به عبارت دیگر توزیع دو جمله ای برای متغیر تصادفی x توزیعی است که در آن دو نتیجه احتمالی، یعنی پیروزی و شکست برای تعداد محدودی از آزمایش وجود دارد. برای شناخت بهتر این مفاهیم، فرض کنید بسکتبالیستی هستید که یک پرتاب آزاد دارد. برای شما پیروزی به معنای پرتاب توپ داخل تور است و شکست به معنای از دست دادن این پرتاب است. در این مثال هر پرتاب آزاد یک آزمایش به حساب می‌آید.

بیشتر بخوانید: قوانین احتمالات

معیارهای توزیع دو جمله‌ ای

این توزیع احتمال وقوع یک رویداد را زمانی که معیار و شرایط خاصی برآورده می شود، طراحی می‌کند. توزیع دو جمله ای شامل معیارهای زیر است که برای استفاده از فرمول احتمال دو جمله ای باید در فرآیند وجود داشته باشد:

1- آزمایشات ثابت

فرآیند مورد بررسی باید دارای تعداد ثابتی از آزمون‌ها باشد که در طول تجزیه و تحلیل قابل تغییر نباشند. در طول آنالیز، هر آزمون باید به روشی یکنواخت انجام شود، اگرچه هر کدام ممکن است نتیجه متفاوتی داشته باشد.

2- آزمایشات مستقل

شرط دیگر توزیع دو جمله ای این است که آزمون‌ها مستقل از یکدیگر باشند. به زبان ساده، نتیجه یک آزمون نباید بر نتیجه آزمایشات بعدی تأثیر بگذارد.

3- احتمال ثابت موفقیت

در یک توزیع دوجمله ای، احتمال موفقیت باید برای آزمایش‌هایی که در حال بررسی آنها هستیم ثابت بماند. به عنوان مثال، هنگام پرتاب یک سکه، احتمال عوض شدن نتیجه برای هر آزمایشی که انجام می‌دهیم ½ یا 0.5 است، زیرا تنها دو نتیجه ممکن وجود دارد.

4- دو نتیجه متقابل منحصر به فرد

در توزیع دوجمله ای، تنها دو نتیجه متقابلا منحصر به فرد وجود دارد، یعنی پیروزی یا شکست. در حالی که موفقیت به طور کلی یک اصطلاح مثبت است، می توان از آن به این معنی استفاده کرد که نتیجه آزمایش با آنچه شما به عنوان موفقیت تعریف کرده‌اید، یکسان است، خواه نتیجه مثبت یا منفی باشد.

نمونه ای از توزیع دو جمله ای

فرض کنید طبق آخرین گزارش‌های پلیس، 80 درصد از جرایم خرد حل نشده است. و در شهر شما حداقل سه مورد از این جرایم کوچک اتفاق افتاده است. این سه جرم کاملا مستقل از هم انجام شده اند. با توجه به اطلاعات داده شده احتمال حل شدن یکی از این سه جرم چیست؟

برای تجزیه و تحلیل و آنالیز پروژه های آماری با آمار برتر در تماس باشید.

راه حل:

اولین قدم در یافتن احتمال دو جمله‌ ای این است که بررسی شود آیا این وضعیت، 4 معیار و شرط مذکور را برآورده می‌کند یا خیر:

• تعداد آزمون‌های ثابت (n): تعداد جرایم خرد 3
• تعداد نتایج متقابل منحصربه فرد: 2 (جرایم حل شده و حل نشده)
• احتمال موفقیت: 0.2 ( 20 درصد از جرایم حل شده است)
• آزمایشات مستقل: دارد

بعد از این موارد :

ما این احتمال را پیدا می‌کنیم که یکی از جنایات از سه آزمون مستقل حل شده باشد.. به صورت زیر نشان داده می‌شود:

1. آزمون اول: حل شده، حل نشده، حل نشده   0.2×0.8×0.8=0.128
2. آزمون دوم: حل نشده، حل شده، حل نشده   0.8×0.2×0.8=0.128
3. آزمون سوم: حل نشده، حل نشده، حل شده   0.8×0.8×0.2=0.128

مجموع: برای سه آزمون   0.128+0.28+0.128=0.384

همچنین، می‌توانیم اطلاعات را در فرمول توریع دوجمله ای اعمال کنیم.

میانگین و انحراف معیار توزیع دو جمله ای

از آنجایی که احتمال دو جمله ای بسیار رایج است آماردانان به کار خود ادامه دادند و فرمول‌های آسانی برای یافتن میانگین و انحراف معیار آن کشف کردند.

توزیع پواسون و توزیع دو جمله ای

در توزیع دو جمله ای زمانی که n یعنی تعداد کل آزمایش بزرگ باشد، محاسبه‌ی احتمال وقوع، سخت خواهد بود. علاوه بر این احتمال دو جمله ای در مواردی صدق می‌کند که تفاوت p و q کوچک باشد. (p احتمال وقوع یک پیشامد در آژمایش و q احتمال عدم وقوع آن) در مواردی که دو شرط بالا صدق نکند از توزیع های دیگر مانند توزیع پواسون یا نرمال استفاده می‌شود.

کاربرد عملی توزیع پواسون

از توزیع پواسون می‌توان برای تخمین اینکه چقدر احتمال دارد پیشامدی X بار اتفاق بیافتد استفاده کرد. به عنوان مثال اگر میانگین تعداد افرادی که جمعه شب از یک رستوران همبرگر می‌خرند 200 نفر باشند، توزیع پواسون می‌تواند به سوالاتی مانند «احتمال اینکه بیش از 300 نفر همبرگر بخرند چقدر است؟» پاسخ دهد.